Question

二重积分,老算不对,求助.

下面2题求f(x,y)的二重积分
1.f(x,y)=根号(R^2-x^2-y^2),区域 x^2+y^2<=Rx. R为常数.
2.f(x,y)=(x+y)/(x^2+y^2) 区域由x^2+y^2<=1,x+y<=1围成.
书上给的第一题答案:[R^3(pi-4/3)]/3 第二题答案: 2-pi/2
如果认为答案错了也可以写过程.
看来我是角的范围弄错.
不过为什么是你说的那个范围? 我第一题是-pi/2-----pi/2 第二题是pi/2-----pi/

Answer 1

设x=r cosa,y=r sina；
原式=∫∫f(x,y)dS=2∫da∫√(R^2-r^2)rdr
=2∫(R^3-(sina)^3)/3da
=[R^3(pi-4/3)]/3
上式中r的范围是0——Rcosa，a的范围是0——pi/2。

对第二题，f(x,y)关于x和y的奇函数，并且x^2+y^2<=1关于原点对称，积分为0，故整个积分只与x^2+y^2<=1,x+y>1这个区域有关。
采用同样的方法可算出答案为2-pi/2
原式=∫∫f(x,y)dS
=∫da∫(rcosa+rsina)/r^2*rdr
=∫da∫(cosa+sina)dr
=∫(cosa+sina-1)da
=2-pi/2
其中r的范围是1/（cosa+sina）——1，a的范围是0——pi/2