Question

已知△ABC，三内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1，且有sinA-sinC+√2/2cos

已知△ABC，三内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1，且有sinA-sinC+√2/2cos（A-C）=+√2/2，求（1）A、B、C的大小。（

Answer 1

解:
由于A,B,C为三角形三个内角
则:A+B+C=180 -----(1)
又A、B、C成等差数列
则有:2B=A+C -----(2)
由(1)(2)得:
B=60度
A+C=120度
由于:
sinA-sinC+(√2/2)cos(A-C)＝√2/2
则:
2cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]+(√2/2)cos(A-C)＝√2/2 (和差化积)
2cos60sin[(A-C)/2]+(√2/2)cos(A-C)＝√2/2
sin[(A-C)/2]+(√2/2)cos(A-C)＝√2/2
sin[(A-C)/2]+(√2/2){1-2sin^2[(A-C)/2]}
＝√2/2
设Y＝sin(A-C)/2
得:Y+(√2/2)[1-2Y^2]=√2/2
解得Y1＝0,Y2＝√2/2
也即说有两种情况
[1]sin[(A-C)/2]＝0,
得A＝C
又A+C=120度
则:A=C=60度
[2]sin[(A-C)/2]＝√2/2
得A－C＝90
又A+C＝120
解得A＝105,C＝15
(2)
[1]A=B=C=60度 时,
S△ABC
=(1/2)absinC
=(1/2)(2RsinA)(2RsinB)sinC
=2R^2sinAsinBsinC
=2*(sin60)^3
=(3√3)/4
[2]A=105度,B=60度,C=15度
同理:
S△ABC
=2R^2sinAsinBsinC
=2*sin105*sin60*sin15
=2*[(√6+√2)/4]*(√3/2)*[(√6-√2)/4]
=√3