Question

设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．求证：平面PCB⊥平面ABC

设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．求证：平面PCB⊥平面ABC．

Answer 1

证明：如答图所示，取BC的中点D，连接PD、AD， ∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点 ∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边 ∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90° ∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面ABC ∴又PD?平面PCB ∴平面PCB⊥平面ABC．

Answer 2

过点P作底面ABC的垂线，垂足为O点。因为PA=PB=PC,又△POA、△POB、△POC都是直角三角形。∴OA=OB=OC,O为△ABC的外心。
∵△BAC为Rt三角形。BC为斜边
∴点O点D重合。
即PD⊥平面ABC
PD在平面PBC内
∴平面PCB⊥平面ABC