Question

如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行．吃到上底面上与A点相对的B点处

如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行．吃到上底面上与A点相对的B点处的食物（π的近似值取3，以下同）．（1）当圆柱的高h=12厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少；（2）当圆柱的高h=3厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程是多少；（3）探究：当圆柱的高为h，圆柱底面半径为r时，蚂蚁怎样爬行的路程最短，路程最短为多少？

Answer 1

将圆柱体展开，连接AB， ∵底面半径r=3厘米， ∴CB= 1 2 ×2π×3=3π≈9厘米， ∵圆柱的高h=12厘米，即AC=12厘米， ∴AB= AC 2 + CB 2 = 12 2 + 9 2 =15厘米． 答：蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是15厘米． （2）当蚂蚁沿侧面爬行同（1）的方法： ∵AC=3， BC =3π≈9， ∴AB= 90 =3 10 ． 当蚂蚁沿AC到上底面，再沿直径CB爬行，有AC+BC=3+6=9． 因为 90 ＞9， 所以最短路程是经AC到上底面，再沿直径CB爬行的总路程为9． （3）在侧面，沿AB爬行时，S 1 = h 2 + π 2 r 2 ，沿AC再经过直径CB时， 则S 2 =h+2r． 当S 1 =S 2 时， h 2 + π 2 r 2 =h+2r ． 整理，得4h=（π 2 -4）r，由于π取3， 所以4h≈5r． 当 h≈ 5 4 r 时，两种爬行路程一样． 当S 1 ＞S 2 时， h 2 + π 2 r 2 ＞h+2r ，整理，得4h＜（π 2 -4）r 当π取3时，有h＜ 5 4 r ，所以当h＜ 5 4 r 时，沿AC再经过直径CB到点B时所走路程最短． 同理，当h＞ 5 4 r 时，沿侧面AB走路程最短． 当h＜ 5 4 r时，沿AC到CB走路程最短为h+2r． 当h＜ 5 4 r时，沿侧面AB走或沿AC到CB走路程一样长为 h 2 +9 r 2 或h+2r． 当h＜ 5 4 r时，沿侧面AB走路程最短为 h 2 +9 r 2 ． 当h＜ 5 4 r时，沿AC到CB走路程最短为h+2r．