Question

已知{an}为单调递增的等比数列，且a2+a5=18，a3?a4=32，{bn}是首项为2，公差为d的等差数列，其前n项和为S

已知{an}为单调递增的等比数列，且a2+a5=18，a3?a4=32，{bn}是首项为2，公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当且仅当2≤n≤4，n∈N*，Sn≥4+d?log2an2成立，求d的取值范围．

Answer 1

（1）因为{a_n}为等比数列，所以a₃?a₄=a₂?a₅=32
所以

a2+a5＝18 a2?a5＝32

所以a₂，a₅为方程 x²-18x+32=0的两根；
又因为{a_n}为递增的等比数列，所以 a2＝2，a5＝16，q3＝8，
从而q=2，
所以an＝a2?qn?2＝2?2n?2＝2n?1；
（2）由题意可知：b_n=2+（n-1）d，Sn＝2n+

(n?1)?n

2

d，
由已知可得：2n+

(n?1)?n

2

d≥4+(2n?2)d，
所以d?n²+（4-5d）?n-8+4d≥0，
当且仅当2≤n≤4，且n∈N^*时，上式成立，
设f（n）=d?n²+（4-5d）?n-8+4d，则d＜0，
所以

f(1)＜0 f(2)≥0 f(4)≥0 f(5)＜0

?

d≤0 d＜?3

?d＜?3，
所以d的取值范围为（-∞，-3）．