Question

已知数列{an}满足递推关系式：an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*），且a1=1，a2=t．（t为常数，且t＞1）（

已知数列{an}满足递推关系式：an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*），且a1=1，a2=t．（t为常数，且t＞1）（1）求a3；（2）求证：{an}满足关系式an+2-2tan+1+tan=0，（n∈N*；（3）求证：an+1＞an≥1（n∈N*）．

Answer 1

（1）由a₃a₁-a₂²=t（t-1）和a₁=1，a₂=t
∴a₃=2t²-t…（4分）
（2）由a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*）
得a_n+1a_n-1-a_n²=t^n-1（t-1）（n≥2），
再由上两式相除得到：∴a_n+2a_n-a_n+1²=ta_n+1a_n-1-ta_n²
∴a_n（a_n+2+ta_n）=a_n+1（a_n+1+ta_n-1）
∴

an+2+tan

an+1

=

an+1+tan?1

an

即{

an+2+tan

an+1

}为常数列
∴

an+2+tan

an+1

＝

a3+ta1

a2

而a₃+ta₁=2t²∴

an+2+tan

an+1

＝2t．
即a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0．…（9分）
（3）由t＞1知：a_n+2a_n＞a_n+1²≥0
∴a_n+2a_n＞0
故a_n+2与a_n同号
而a₁=1＞0，a₂=t＞0．
故a_n＞0．
又a

?

n

+2an＞

a

2 n+1

即

an+2

an+1

＞

an+1

an

∴

an+1

an

＞

an

an?1

＞…＞

a2

a1

＝t＞1
∴a_n+1＞a_n
∴a_n≥1
∴a_n+1＞a_n≥1．…（14分）