Question

已知函数f（x）对于任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（-1）=2（1）

已知函数f（x）对于任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（-1）=2（1）求f（0）的值并判断函数单调性（2）求函数f（x）在[-3，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

解答：（1）令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
设x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
则 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是减函数，
（2）f（x）+f（y）=f（x+y）
f（-3）=f（-2）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=6，
f（1）+f（-1）=f（0）=0，f（1）=-2，
又因为f（x）在[-3，3]上是减函数，
所以，最大值为f（-3）=6，最小值为f（-1）=-2．