Question

已知函数f（x）=ax3-32x2+1，（x∈R，a＞0），若在区间[-12，12]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围

已知函数f（x）=ax3-32x2+1，（x∈R，a＞0），若在区间[-12，12]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

∵函数f（x）=ax³-

3

2

x²+1，（x∈R，a＞0）
∴f′（x）=3ax²-3x，
由f′（x）=0，得x=0，或x=

1

a

，
①当

1

a

≥

1

2

，0＜a≤2时，
∵f（-

1

2

）=

5

8

-

a

8

，f（

1

2

）=

5

8

+

a

8

，f（0）=1，
∴在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min=

5

8

?

a

8

，
∵在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=

5

8

?

a

8

＞0，解得a＜5，
∴0＜a≤3．
②当

1

a

＜

1

2

，a＞2时，
∵f（-

1

2

）=

5

8

-

a

8

，f（

1

2

）=

5

8

+

a

8

，f（0）=1，f（

1

a

）=-

1

a2

，
∴在区间[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min=