Question

若函数f（x）=x³/3-ax²/2+x+1在区间(1/3,4)上有极值点，则实数a的取值范围是（）

菁优网的答案：（2,17/4）

我看不懂它的解题过程。请不要直接粘贴。谢谢

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

解由f（x）=x³/3-ax²/2+x+1
求导f'(x)=x^2-ax+1
由函数f（x）=x³/3-ax²/2+x+1在区间(1/3,4)上有极值点
则f'(x)=x^2-ax+1=0在区间(1/3,4)上解且不是两个相等的实数解
即当有一解时，f(1/3)f(4)＜0
即(10/9-a/3)(17-4a)＜0
即(a-10/3)(4a-17)＜0
即10/3＜a＜17/4
当有两个不等的实数解时
1/3＜a/2＜4
Δ=a^2-4＞0
f(1/3)＞0
f(4)＞0
即2/3＜a＜8
a＞2或a＜-2
a＜10/3
a＜17/4
即2＜a＜10/3
故综上知a属于（2,17/4）

估计那个区间(1/3,4)应该是闭区间，要不然a=10/3取不到的

Answer 2

f(x)=x³/3-ax²/2+x+1
f'(x)=x²-ax+1
f(x)在区间(1/3,4)上有极值点
即f'(x)=x²-ax+1在区间(1/3,4)上至少有1个零点
当有一个零点时

f'(1/3)*f(4)<0
即(1/9-a/3+1)(16-4a+1)<0
(a/3-10/9)(4a-17)<0
10/3<a<17/4
当有2个零点时
要求Δ=a²-4>0
且1/3<a/2<4
f'(1/3)>0
f'(4)>0
解得
2<a<10/3
当a=10/3时
f'(x)=x²-10/3x+1=0
(x-1/3)(x-3)=0
x=1/3或x=3
舍去x=1/3
也满足f'(x)=x²-ax+1在区间(1/3,4)上至少有1个零点
综上取并集

(2,17/4)