Question

求解3，4题

Answer 1

3.解:题目是求X^2+Y^2的最大值。
而X，Y又满足（x-1)^2+y^2/b=1（0<b<1)
将上面那个方程变形可得：
X^2+Y^2=2X+(1-1/b)Y^2
根据上面的方程可知，（1-1/b）<0,所以(1-1/b)Y^2<0,故当X取最大，Y的绝对值最小时，X^2+Y^2取得最大值。即当X=1，Y=0时满足要求。即X^2+Y^2=2X=2.
∴（x-1)^2+y^2/b=1（0<b<1)的最大值是2。
4.解：
x-2y的最大值是 10 .
将方程x^2+y^2-2x+4y=0化为圆的标准形式,得
(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5
令
x-1 = √5sint
y+2 = √5cost
则
x-2y = √5sint - 2√5cost + 5
= √5(sint -2cost) + 5
= √5*√5(√5/5sint - 2√5/5cost) + 5
= 5sin(t - α) + 5
所以
x-2y 的最大值是
(x-2y)max = 5+5 =10
当sin(t - α) = 1 时取得
其中α = arcsin(2√5/5)
注：
此类题的解法有很多.
除此解法外可以利用数形结合求解.
由圆的方程知,圆心为 (1,-2),半径为 r = √5
x-2y的最大值实际是过圆心垂直于直线x-2y = 0的直线与圆的最远交点的距离的√5倍 ,即 √5*2√5 = 10
另外也可以令 x-2y = k
将 x= 2y＋k代入方程中,得到关于y的一元二次方程,
因为y为实数,即这个关于y的方程有实数解,
则判别式△≥0
从而也可求得k的值.