Question

设a＞b＞0，证明(a-b)/a＜ln(a/b)＜(a-b)/b

Answer 1

设a/b=x
就变成1-1/x<lnx<x-1 x>1
第一个<号
令f(x)=lnx+1/x-1
求导1/x-1/x^2=1/x(1-1/x)>0
所以f(x)递增 最小值是f(1)=0 所以f(x)>0 第一个<成立

第二个<号
令f(x)=x-1-lnx
求导1-1/x>0 递增 f(1)=0 所以f(x)>0 第二个<成立

微分中值定理
令f(x)=lnx f'(x)=1/x
由拉格朗日中值定理
存在b<c<a
f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)
lna-lnb=1/c*(a-b) 那么ln(a/b)=1/c*(a-b)
其中b<c<a 所以(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

追问

可以写成文字拍个照片吗？这样看不出来

追答

追问

不清晰啊

追答

很清楚的，要点开图片，就可以放大了。

追问

追答

追问

嗯。没事了。会了

可不可以麻烦看看第2题