Question

高中解三角形的题

看图看图

Answer 1

(1) ∵ 三角形三边为a、b、c ，
设 p=(a+b+c)/2 ,
则 p-a=(-a+b+c)/2 ,
p-b=(a-b+c)/2 ,
p-c=(a+b-c)/2 ,
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab ，
S△=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 。

(2)S△=ar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2=pr ,
∴ pr=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,
∴ r=√[p(p-a)(p-b)(p-c)/p²] ，
∴ r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p] 。

(3)∵ 边BC、CA、AB上的高为ha、hb、hc ，
∵ a*ha/2 =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,
∴ ha=(2/a)√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,
∵ b*hb/2 =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,
∴ hb=(2/b)√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,
∵ c*hc/2 =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,
∴ hc=(2/c)√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 。

Answer 2

最大角就是最大边所对应的角，最小角，就是最短边对应的角
余弦公式，三角形ABC中，三个内角角A、角B、角C的对边为a、b、c，则
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=a^2+c^2-2accosB
c^2=a^2+b^2-2abcosC
已知a、b、c，代入就行了
角CosB= 0.5,角B=60度或120度 ，根据体已，显然角B为120度不可能，只能为30度，180度－角B＝120度。

Answer 3

（1）先证第一问：
即著名的海伦公式S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
证明如下：
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
（2）求内切圆半径r：
我们知道三角形周长2p
面积=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=S=1/2*2p*r=pr
可以带入求出r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p]
(3)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=1/2*a*ha
可以求出ha=2/a*√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
同样可以求出hb，hc
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=1/2*b*hb
hb=2/b*√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=1/2*c*hc
hc=2/c*√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Answer 4

看不清