Question

已知tanα+sinα=a,tanα-sinα=b,求证（a²-b²）²=16ab

怎么证明，越详细越好

Answer 1

tanα+sinα=a
tanα-sinα=b

求得， tanα=(a+b)/2, sinα=(a-b)/2

在三角形中，

(sinα)^2=(sinα)^2/[(sinα)^2+(cosα)^2]=(tanα)^2/[1+(tanα)^2]
即 [(a-b)/2]^2=[(a+b)^2/4]/[1+(a+b)^2/4]
整理得(a-b)^2=4[(a+b)^2]/[4+(a+b)^2]
[(a-b)^2]*[(a+b)^2]=4[(a+b)^2]-4[(a-b)^2]
(a^2-b^2)^2=16ab，即证。

Answer 2

如图

Answer 3

证：
tanα+sinα=a ①
tanα-sinα=b ②
①+②，得a+b=2tanα
①-②，得a-b=2sinα
①×②，得
ab=(tanα+sinα)(tanα-sinα)
=tan²α-sin²α
=tan²α-(tanαcosα)²
=tan²α-tan²αcos²α
=tan²α(1-cos²α)
=tan²αsin²α
(a²-b²)²
=[(a+b)(a-b)]²
=(2tanα·2sinα)²
=16tan²αsin²α
=16ab
等式成立。