Question

二元函数由已知条件求表达式

第二问

Answer 1

这个题目，本质上是要你理解不同的地方的x和y是不同的东西。
（1）原题，已知f（x,y）=x²-y²，这是基础，对于任意两个独立变量都成立。
所以可以改写为f(a,b)=a²-b²，令a=x+y，b=y/x，则有
f（x+y，y/x）=(x+y)²-(y/x)²=x²+2xy+y²-y²/x²
（2）这里比起第一题稍微麻烦一些。
在已知函数f(x+y，y/x)=x²-y²…………①
中，令x+y=a…………………………………②
y/x=b…………………………………③
可从③得：y=bx，带入②可得，x+bx=a，即：x(1+b)=a
x=a/(1+b),y=ab/(1+b)…………………④
将④中两式带入①可得：
f(a，b)=a²/(1+b)²-(ab/(1+b))²=(a²-a²b²)/(1+b)²=a²(1-b²）/(1+b)²=a²(1+b)(1-b)/(1+b)²
最后得：f(a，b)=a²(1-b)/(1+b)
这也是一个普遍的基础式，对任意两个独立变量都适用，所以可以将a、b换成x、y，于是有：
f(x，y)=x²(1-y)/(1+y)