Question

单位脉冲函数———δ函数

Answer 1

信号分析中常应用δ(t)函数，它表示一个理想的瞬时触发脉冲，又称冲击函数，上个世纪30年代由著名物理学狄拉克在量子力学中引进。从数学上讲，它已不属于普通函数，所以在数学中称为广义函数。

1.δ(t)函数的引出

一个单位面积的触发方波，如果其幅度为1/ε，宽度为ε，即

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根据图2-6-1，当ε越变越小时，方波的宽度越变越小，而幅度越变越大。当ε→0时，方波的极限称为单位冲击函数，或称为δ函数，记为δ(t)，如图2-6-2所示。

2.δ函数的特点

δ(t)具有下述特点:

(1)从函数极限角度看，δ(t)为

图2-6-1 方波f_ε/2(t)

图2-6-2 单位冲击函数

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(2)从面积角度看，则有

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3.δ函数的定义

如果有任一函数f(t)在t=0时连续，则有

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上式深刻地反映了单位冲击函数的性质，因此式(2-6-3)称为δ函数的定义。

定义:如果有一函数δ(t)，对在t=0连续的任意函数f(t)都有式(2-6-3)的关系，则此函数称为δ函数，并以δ(t)表示。

4.δ函数的性质

δ(t)具有下述性质:

(1)因为f(t)在t=0连续，所以有f(0^-)=f(0)，于是根据δ(t)的定义，有

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也即

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(2)δ(t)也可以从坐标原点t=0移到任意点t=t₀，如图2-6-3所示。这时有

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及

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显然，若有任意连续函数在t=t₀连续，则有

下式成立

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图2-6-3 δ(t-t₀)延迟单位冲击函数