Question

△ABC中，已知sin²A＋sin²B＋sin²C＝2，判断△ABC的形状。

Answer 1

（1）因为角A、B、C分别为△ABC的三个内角
所以C＝180－（A＋B）
再根据两角和的正弦公式sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB
因此sin²A＋sin²B＋sin²C
＝sin²A＋sin²B＋sin²[180-(A+B)]
＝sin²A＋sin²B＋sin²(A+B)
＝sin²A＋sin²B＋(sinAcosB+cosAsinB)²
＝sin²A＋sin²B＋sin²Acos²B＋cos²Asin²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝sin²A＋sin²B＋(1-cos²A)cos²B＋cos²A(1-cos²B)＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cos²Acos²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)
＝2-2cosAcosBcos(A+B)
＝2+2cosAcosBcosC
（2）因为根据已知sin²A+sin²B+sin²C=2,
而sin²A＋sin²B＋sin²C＝2+2cosAcosBcosC
则cosAcosBcosC=0,
所以其中三角形有一个角是直角
所以△ABC是直角三角形

Answer 2

解：sinA=sin（180°-B-C）=sin【π-（B+C）】=sin（B+C）
sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
所以
sin²A=（sinBcosC+cosBsinC）²
=sin²Bcos²C+2sinBcosBsinCcosC+cos²Bsin²C
=sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sinBcosBsinCcosC
=（1-cos²B）cos²C+（1-cos²C）cos²B+2sinBcosBsinCcosC
=cos²C-cos²Bcos²C+cos²B-cos²Bcos²C+2sinBcosBsinCcosC
=cos²C+cos²B-2cos²Bcos²C+2sinBcosBsinCcosC
=cos²C+cos²B-2cosBcosC（cosBcosC-sinBsinC）
=cos²C+cos²B-2cosBcosCcos（B+C）
=cos²C+cos²B-2cosBcosCcos（180°-A）
=cos²C+cos²B-2cosBcosCcos（π-A）
=cos²C+cos²B+2cosBcosCcosA
所以sin²A+sin²B+sin²C
=cos²C+cos²B+2cosBcosCcosA+sin²B+sin²C
=（sin²C+cos²C）+（sin²B+cos²B）+2cosBcosCcosA
=1+1+2cosBcosCcosA
=2+2cosBcosCcosA
因为
sin²A+sin²B+sin²C=2
所以
2+2cosBcosCcosA=2
即
cosBcosCcosA=0
则cosA、cosB、cosC中有一个值为0
而余弦值为零的角的度数为90°
所以此三角形为直角三角形。

Answer 3

sin²A＋sin²B＋sin²C
＝sin²A＋sin²B＋sin²(A+B)
＝sin²A＋sin²B＋(sinAcosB+cosAsinB)²
＝sin²A＋sin²B＋sin²Acos²B＋cos²Asin²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝sin²A＋sin²B＋(1-cos²A)cos²B＋cos²A(1-cos²B)＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cos²Acos²B＋2sinAcosAsinBcosB
＝2-2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)
＝2-2cosAcosBcos(A+B)
＝2+2cosAcosBcosC
所以,若sin²A+sin²B+sin²C=2,则cosAcosBcosC=0,其中一个角是直角,所以△ABC是直角三角形