Question

n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件

Answer 1

n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是：A有n个线性无关的特征向量。

充要条件是如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然 。

扩展资料：

生活中的充要条件：

1、生活中表达充分必要条件的情况不太常见。在逻辑学和数学中一般用“当且仅当”来表示充分必要条件。例如：

当且仅当竞争对手甲退出投标时，乙才会报一个较高的价位。

a、b为任意实数时，a²+b² ≥ 2ab 成立，当且仅当a=b时取等号。

2、其他常见的表示充分必要条件的说法还有：“需要且只需要”、“唯一条件”的情况。例如：

任何两个端节点之间的转发需要且只需要经过三次交换。

为了防止圆管内流动的水发生结冰，则需要且只需要保持圆管内壁面的最低温度在某一温度以上。

俄军逼近格首都称停火唯一条件是格军放弃武力。

Answer 2

n阶方阵a可对角化的充分必要条件是a有n个线性无关的特征向量!
[证明]
充分性：已知a具有n个线性无关的特征向量x1，x2，……，则axi=入ixi
i=1,2,……,n
a[x1
x2
……xn]=[入1x1
入2x2
……入nxn]
=[x1
x2
……xn]*
x1，x2，xn线性无关，故p=[x1
x2
xn]为满秩矩阵，令v=*，则有ap=pv
v=ap/p
必要性：已知存在可逆方阵p，使
ap/p=v=*
将p写成列向量p=[p1
p2
pn]
pn为n维列向量
[ap1
ap2……apn]=[入1p1
入2p2……入npn]
可见，入i为a的特征值，pi为a的特征向量，
所以，a具有n个线性无关的特征向量。
注：因为上面的过程是我自己手工打上去的，好多符号百度都打不出来，将就能看懂就好，其中*表示的是一个n阶对角矩阵，对角线上的矢量分别为入1，入2……入n
n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。
但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

Answer 3

n阶方阵a可对角化的充分必要条件是a有n个线性无关的特征向量!
[证明]
充分性：已知a具有n个线性无关的特征向量x1，x2，……，则axi=入ixi
i=1,2,……,n
a[x1
x2
……xn]=[入1x1
入2x2
……入nxn]
=[x1
x2
……xn]*
x1，x2，xn线性无关，故p=[x1
x2
xn]为满秩矩阵，令v=*，则有ap=pv
v=ap/p
必要性：已知存在可逆方阵p，使
ap/p=v=*
将p写成列向量p=[p1
p2
pn]
pn为n维列向量
[ap1
ap2……apn]=[入1p1
入2p2……入npn]
可见，入i为a的特征值，pi为a的特征向量，
所以，a具有n个线性无关的特征向量。
注：因为上面的过程是我自己手工打上去的，好多符号百度都打不出来，将就能看懂就好，其中*表示的是一个n阶对角矩阵，对角线上的矢量分别为入1，入2……入n
n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。
但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

Answer 4

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量!
证明：（1）充分性：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角矩阵相似
（2）必要性：n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个线性无关的特征向量

Answer 5

你的这一结论没有依据。
例如3阶矩阵A
1
0
0
0
2
1
0
0
2
显然A的特征值为1，2，2
但是你能告诉我，它能相似对角矩阵吗？
答案是，这个矩阵不能相似对角阵。
这里简单说明一下，根据相似的定义，
P-1AP
=
diag(λ1，λ2，...，λn）
那么AP
=
P
diag(λ1，λ2，...，λn）
因为P可逆，设P=(α1，α2，...，αn)，如果αi是A的特征向量。
那么上面相似的定义就是
A(α1，α2，...，αn)
=
(λ1α1，λ2α2，...，λnαn)
=
(α1，α2，...，αn)diag(λ1，λ2，...，λn）
这也就说明了我们求相似矩阵中的P，其过程是求解A的特征向量了。
也说明了为什么相似对角阵的元素是A的特征值了。
正是由于上面的定义造成的。
也就是说只有当P的列向量是A的特征向量时，上述相似对角阵定义才成立。
因为要求P可逆，所以P的n个列向量必须线性无关。也就是A的特征向量必然线性无关。
否则P不可逆，则相似定义不成立，当然也就不可以相似对角阵了。
newmanhero
2015年5月24日22:32:58
希望对你有所帮助，望采纳。