Question

急急急，数学题，求详细解答过程

数列{an}满足a1=1,且8a(n+1)an-16a(n+1)+2an+5=0(n>=1)记bn=1/an-o.5 (n>=1) ( 注：0.5其实就是1/2) 1.求b1,b2,b3,b4的值；2.求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn
最重要的是第二问，求详细解答过程

Answer 1

1.
bn=1/(an-1/2)
an=1/bn +1/2
代入
8a(n+1)an-16a(n+1)+2an+5=0
8/bnbn+1) +2+4/bn+4/bn+1) -16/bn+1) -8+2/bn +1+5=0
8+4bn+1)+4bn-16bn+2bn+1)=0
8-12bn+6bn+1)=0
6bn+1)=12bn-8
bn+1)=2bn/ -4/3
设bn+1)+k=2(bn+k)
解得：k=-4/3
bn+1)-4/3=2(bn-4/3)
bn+1)-4/3)/(bn-4/3)=2
2为常数
所以bn-4/3为等比数列。
b1=1/(a1-1/2)=2
bn-4/3=(2-4/3)*2^(n-1)
bn=(2^n)/3+4/3

an=1/bn +1/2
anbn=1+ bn/2=2^(n-1) /3 +5/3
S(anbn)=(1/3)*(1-2^n)/(1-2) +5n/3
=(2^n)/3 +5n/3 -1/3

Answer 2

解：(1)b<1>=1/(1-0.5)=2
由已知得a<n+1>=(2a<n>+5)/(16-8a<n>)
故a<2>=7/8,a<3>=3/4,a<4>=13/20
所以b<2>=8/3,b<3>=4,b<4>=20/3
(2)由已知得
4(a<n+1>-0.5)(a<n>-0.5)-6(a<n+1)-0.5)+3(a<n>-0.5)=0
即4-6/(a<n>-0.5)+3/(a<n+1>-0.5)=0
亦即4-6b<n>+3b<n+1>=0，得
b<n+1>=2b<n>-(4/3)
设b<n+1>-x=2(b<n>-x)，则b<n+1>=2b<n>-x，故x=4/3，即
b<n+1>-4/3=2(b<n>-4/3)
所以b<n>-4/3=(b<1>-4/3)[2^(n-1)]，即
b<n>=2^n/3+4/3
a<n>b<n>=(0.5+1/b<n>)b<n>=2^(n-1)/3+2/3+1=2^(n-1)+5/3
S<n>=(1/3)[1+2+…+2^(n-1)]+5n/3
=(1/3)(1-2^n)/(1-2)+5n/3
=(5n-1+2^n)/3

Answer 3

我讲下4(a<n+1>-0.5)(a<n>-0.5)-6(a<n+1)-0.5)+3(a<n>-0.5)=0 是怎么想到的
可以用如下方法的得到这个0.5
已知8a(n+1)an-16a(n+1)+2an+5=0，设a(n+1)=an可得
8an×an-16an+2an+5=0解得an=1/2或5/4因为a1=1由原始等式可知an<=1故
舍去5/4
所以得到1/2
这是一种数学技巧，要说理由比较深，反正可以解决此类数列问题
然后设cn=an-1/2可求出an
然后因为bn=1/an-o.5所以anbn=1-0.5an可得解