Question

高等数学极值问题？

Answer 1

假设f(x)和g(x)在x=a处连续且二阶可导，则有

f'(a)=g'(a)=0，f''(a)<0，g''(a)<0

F'(x)=[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

故F'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=0

所以F(x)在x=a处取得极值，C选项错误。

F''(x)=[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]'=f''(x)g(x)+f(x)g''(x)+2f'(x)g'(x)

故F''(a)=f''(a)g(a)+f(a)g''(a)+2f'(a)g'(a)=f''(a)g(a)+f(a)g''(a)

只知道f''(a)<0，g''(a)<0，而g(a)和f(a)的符号不能确定，所以F''(a)的符号不能确定。所以，即使知道f(x)和g(x)在x=a处二阶可导，且二阶导数小于零，也只能确定F(x)取得极值，但无法确定是极大值还是极小值，选D正确。

Answer 2

选 D，不确定。
如 f(x)=-x^2，g(x)=-x^2，在 x=0 处都取极大值，
但 f(x)g(x) = x^4 在 x=0 处取极小值。
再如 f(x)=2-x^2，g(x)=2-x^2 在 x=0 处取极大值，
而 f(x)g(x)=(2-x^2)^2 在 x=0 处仍取极大值。