Question

y''-y'=4的通解

Answer 1

二阶常系数非齐次线性微分方程

标准形式

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

解法

对于微分方程y''-y'=4

特征方程为，r²-r=0。其特征根为r=0，r=1。其通解为

f(x)=4，是常数。故设原方程的通解为，y=y*+bx。代入原方程，有b=-4

方程的通解就是

Answer 2

分享解法如下。①齐次方程y''-y'=0的特征方程为，r²-r=0。∴其特征根为r=0，r=1。∴其通解为y*=(c1)+(c2)e^x。
②f(x)=4，是常数。故，设原方程的通解为，y=y*+bx。代入原方程，有-b=4。∴其通解为y=-4x+(c1)+(c2)e^x，其中c1、c2为常数。

Answer 3

特征方程 r^2-r = 0, r = 0, 1.
故设特解 y = ax， 代入微分方程得 -a = 4， a = -4， 特解 y = -4x
通解 y = C1+C2e^x - 4x

Answer 4

令u＝y′，
则u′－u＝4，
即du/dx＝u＋4，
分离变量得du/（u＋4）＝dx，
两边积分得ln（u＋4）＝x＋C，
或u＋4＝ke^x，
即dy/dx＝ke^x－4，
分离变量得dy＝ke^xdx－4dx，
两边积分得y＝C′e^x－4x＋C″，这就是所要求的结果。
〖说明：以上C，k，C′，C″表示不同的常数项〗

Answer 5

令y′=P，则y′′=dy′/dx=dP/dx，这样就变成了一阶非齐次线性微分方程，然后就可以用通解公式解出来。