Question

为什么定积分被积函数有x和t时要换元?

Answer 1

定积分被积函数有x和t时要换元是因为：后缀为dt，即关于t积分，其他字符看作常数。令u=x-t，则du=-dt。∫f(x-t)dt= -∫f(u)du。

换元x=t²，两边微分得dx=2tdt，原来积分上下限是0和4，相应的t应该变成√x，也就是0和2。

换元x=t²-1，两边微分得dx=2tdt，相应的t变成√(x+1)，也就是1和2。

定积分

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。