Question

1.求微分方程(y-sinx)x++tan+xdy=0满足初始条件y()=1的解。

Answer 1

问：1.求微分方程(y-sinx)x++tan+xdy=0满足初始条件y()=1的解。

答：原题发过来给老师看看

答：亲亲，您好，为您查询到以下答案，求微分方程(y-sinx)dx+tanxdy=0满足初始条件y(π/6)=1的解：dy/dx = cosx - y/tanx;即y'= cosx - y/tanx令y1'= cosx ;y2'= - y2/tanx;分别解:解y1,得 y1=sinx +C1;解y2:即dy2/dx = - y2/tanx;分离变量:dy2/y2 = -dx/tanx;两边积分得∫dy2/y2 = -∫dx/tanx= -∫(cosx/sinx)dx= -∫(1/sinx)d(sinx);ln |y2| = -ln |sinx| + ln|C2|;→y2 = C2/sinx;则:y=y1+y2=sinx +C1 + C2/sinx;下面求特解:y(π/6)=1,则:sin(π/6) +C1 + C2/sin(π/6)=1;即 1/2+C1 + 2·C2=1;C1 + 2·C2=1/2 ①;将x=π/6,y=1代入y'= cosx - y/tanx中得y'= -√3/2;对y=sinx +C1 + C2/sinx 求导得:y'=cosx -C2·cosx/(sin^2

答：y'=cosx -C2·cosx/(sin^2 x);将x=π/6,y=1,及y'= -√3/2代入上式得-√3/2 = √3/2 -2√3·C2→C2=1/2;将C2=1/2代入①中得C1= -1/2;将C1= -1/2 ,C2=1/2 代入 y=sinx +C1 + C2/sinx 可得y=sinx -1/2 + 1/(2·sinx)y=sinx -1/2 + 1/(2·sinx) 就是原微分方程的解.