Question

证明极值时，二阶导数大小为什么能证明是极大值还是极小值？

Answer 1

因为二阶导数可确定函数的增减性，而增减性的驻点就是极值点。

具体如下：如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么
⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值
⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值

Answer 2

∵f''(x0)>0
∴f'(x)在x=x0处是单调递增的
∵f'(x0)=0
∴当x<x0时，f'(x)<0;当x>x0时，f'(x)>0
∴当x<x0时,f(x)单调递减；当x>x0时,f(x)单调递增
∴x=x0是f(x)的极小值点

同理可证极大值点

Answer 3

∵f''(x0)>0
∴f'(x)在x=x0处是单调递增的
∵f'(x0)=0
∴当x<x0时，f'(x)<0;当x>x0时，f'(x)>0
∴当x<x0时,f(x)单调递减；当x>x0时,f(x)单调递增
∴x=x0是f(x)的
极小值
点
同理可证极大值点