Question

15和20的最大公因数和最小公倍数

Answer 1

5和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。

最大公因数和最小公倍数之间的性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止。

1.求最大公因数

可以使用欧几里得算法，即较大数除以较小数的余数再用较小数去除余数，如此反复，直到余数为0。最后一个非零余数就是两个数的最大公因数。以本题为例，20÷15=1余5；15÷5=3余0，所以最大公因数为5。

求最大公因数的方法如下：质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。质因数分解法是把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法的求法如下：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

2.求最小公倍数

最小公倍数是指若干个数中同时包含的最小的公共倍数。求最小公倍数的方法可以先分解质因数，然后取每个质因数的最高次幂，将它们相乘即可。以本题为例，20=2×2×5，15=3×5，两数分解质因数后，共同的质因数为2和5，其中2的最高次幂为2，5的最高次幂为1，所以最小公倍数为2×2×5×3=60。

3.相关概念

最大公因数和最小公倍数是数论中的基本概念，在实际生活中也有广泛应用，如求取物品的最优排列方式、最小捆绑长度等问题。求最大公因数和最小公倍数的方法也有多种，如质因数分解法、辗转相除法等。通常情况下，最大公因数和最小公倍数可以通过求取两数的乘积除以最大公因数来计算。