Question

高中数学关于幂函数的题

已知幂函数f(x)=x^(1/2p^2+p+3/2),(p∈N)，在（0，＋∞）上是增函数，且在定义域上是偶函数。
（1）求p的值，并写出相应函数f（x）的解释式。
（2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g(x)=-q[f(x)]+(2q-1)f（x）＋1，问是否存在实数q（q<0），使得g（x）在区间（－∞，－4]上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在求出来；若不存在，请说明理由。

有追加分
其实我觉得题目有问题。。。寒～

Answer 1

1.在(0,+∞)上是增函数
所以(-1/2)p^2+p+3/2>0
p^2-2p-3<0
(p-3)(p+1)<0
-1<p<3
在其定义域内为偶函数
则(-1/2)p^2+p+3/2是偶数
(-1/2)p^2+p+3/2=(-1/2)(p-3)(p+1)
所以p是奇数
所以p=1

p=1，(-1/2)p^2+p+3/2=2
f(x)=x^2

2.g(x)=-q[f(x)]+(2q-1)f（x）＋1
-q那里你漏掉了平方额
存在。
可设x²=t
则函数g(x)=-qf(x)+(2q-1)x²+1=-qt²+(2q-1)t+1 t属于零到正无限
可配方得对称轴为t=2q-1/2q 又q<0 a=-q 所以抛物线开口向上
g(x)在区间(-∞,-4)上是减函数,且在(-4,0)上是增函数
所以t必须在区间(16，+∞)上是减函数，且在(0，16)上是增函数
又x²=t本身是增函数，就很简单了。
那么对称轴要等于16
即 2q-1/2q=16 解得q=-1/30
满足(q<0)的条件。