Question

数学向量问题

法线向量是指什么？？

Answer 1

一般是指和一个平面或者一个向量垂直的向量

Answer 2

垂直于这个面的向量就称作该平面的法向量

Answer 3

法向量还分为内法向量和外法向量

Answer 4

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。
如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和 CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。
法向量的主要应用如下：
1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。
（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。
例题
(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，
（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点到平面的距离。
（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
设，则， ， ，
， ， ，
∴ , ，
∴ ， ，
由 得， ，
∴ ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，
，令 得， ，
∴平面 的一个法向量为 ，
∴ 与的夹角的余弦值是 ，
∴ 与平面所成角为 。
当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。
例题
（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，，点在上，且 ，
（I）证明： ；
（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。
（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为，则由题意可知， ，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点，，则
，
由 得，
∴ ， ∴当是棱的中点时， 。
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。
（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。
例题
2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）解：由题意可知， , ,
∵ ∴ 为平面的一个法向量，
设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,
由 得，
∴ 令 得， ，
∴平面的一个法向量为，
∴向量与夹角的余弦值是 ， ∴ ，
由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，
∴所求二面角的大小为 。
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。
（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。
例题
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ，， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为 ，则由题意可知，，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为 ，
由题意可知，平面的一个法向量为
∴ ∴平面平面
（五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即 。
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）解：设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ， 得，
，令 得， ，
∴平面的一个法向量为 ，而 ，
∴点 到平面的距离 。
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。
（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，即。
例题
（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面 ，且面与底面所成的角为 ，，求异面直线与之间的距离。
解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系 ，
连结交于 ，连结 ，则就是
面 与底面所成的角的平面角，
∴= ，∴
又∵截面 ，为的中点，
∴ 为的中点，∴ ，
则 ， ， ，，
∴ ， ，
设向量 与两异面直线都垂直，由 ，得，
∴ ，∴ ，
∴异面直线与之间的距离
前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。