Question

反函数求导公式推导

原函数F(X)的反函数的倒数为1/F'(X)是怎么推导出来的？

Answer 1

y=f(x)-->dy/dx=f'(x)
-->x=f^(-1)(x)-->求dx/dy
dx/dy*dy/dx=1
-->dx/dy=1/(dy/dx)=1/f'(x)

Answer 2

首先要保证函数y=f（x）在包含a点的开区间I上严格单调且连续，如果这函数在a点可导并且导数f'（a）≠0，那么反函数x=g（y）在点b=f（a）可导，且g'（b）=1/f'（a）=1/f'（g（b））。
证明：在所给条件下，函数x=g（y）也严格单调且连续。于是，当y≠b，y→b时，有g（y）≠g（b），g（y）→g（b）。因而：
lim[（g（y）→g（b））/（y-b）]=lim1/[（y-b）/（g（y）→g（b））]=lim1/[(f（x）-f（a）)/（x-a）]=1/f'（a）=1/f'（g（b））。