Question

高一等比数列题~在线急求啊！！！！！~~~~~~~~~~~！！！！！

一直数列{an}的首项a1=2/3,a(n+1)=2an/(an+1),n=1,2,3……
1、证明：数列{(1/an)-1}是等比数列；
2、求数列{n/an}的前n项的和Sn.

求过程，谢谢啊~
没人么？

Answer 1

解:
1.证明:
由于:a(n+1)=2an/(an+1)
则有：1/a(n+1)=(an+1)/(2an)
则：
1/a(n+1)=1/2+(1/2)(1/an)
则有：
[1/a(n+1)-1]=(1/2)[(1/an)-1]
故：
{(1/an)-1}为公比为1/2的等比数列

2.
由于：
1/an-1
=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1)
=(1/2)^n
则：
an=1/[(1/2)^n+1]=(2^n)/[1+2^n]
则：
n/an=n(1/2)^n+n
则：
Sn
=[1*(1/2)^1+1]+[2*(1/2)^2+2]+...+[n(1/2)^n+n]
=[1(1/2)^1+2(1/2)^2+...+n(1/2)^n]+...+[1+2+...+n]

设：
Tn
=[1(1/2)^1+2(1/2)^2+...+n(1/2)^n]
则：
(1/2)Tn
=[1(1/2)^2+2(1/3)^3+...+(n-1)(1/2)^n+n(1/2)^(n+1)]
利用错位相减法，（2）-（1）得：
(1/2)Tn
=[(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)]
=(1/2)[1-(1/2)^n]/[1-1/2]-n(1/2)^(n+1)
=1-(n+2)(1/2)^(n+1)
则：
Tn=2-(n+2)(1/2)^n
则：
Sn=2-(n+2)(1/2)^n+[n(1+n)/2]

Answer 2

1.[1/a(n+1)-1]/[(1/an)-1]=[(an+1)/2an-1]/[(1-an)/an]=(an+1-2an)/(2-2an)=(1-an)/[2(1-an)]=1/2;

2.设bn=(1/an)-1,b1=1/2;所以bn=(1/2)^n;所以(1/an)-1=(1/2)^n,
所以an=1/[(1/2)^n+1]，
所以n/an=n[(1/2)^n+1]=n+n*(1/2)^n=cn+dn,其中cn=n,dn=n*(1/2)^n
对cn求前n项和Rn=n(n+1)/2;
设dn的前n项和为Tn=1/2+2*(1/2)^2+...+n*(1/2)^n.
Tn/2=(1/2)^2+2*(1/2)^3+...+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1).
以上两式相减得Tn/2=1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
=1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1).
所以Sn=Rn+Tn=n(n+1)/2+2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n

Answer 3

1.(1/a(n+1))-1=(1-a(n))/(2an)-->
[(1/a(n+1))-1]/[(1/a(n))-1]=[(1-a(n))/(2an)]/[(1-an)/an]=1/2