Question

关于向量概念的问题

平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量（注意是非零向量），记作：a‖b，规定零向量和任何向量平行。
问题：
1.这里“规定零向量和任何向量平行”的意思是说：“规定零向量和任何向量都是平行向量”吗？如果是的话就出现矛盾了
2.既然零向量和任何向量平行，那么可以记为0‖b吗？这种表示方法是表示“两个向量平行”还是表示“两个向量是平行向量”抑或是都可以表示？
3.零向量的方向是任意的，那么，零向量和任何向量的方向都相同吗？
4.可以说两个零向量的方向相同或相反吗？它们是平行向量吗？
我希望大家正面回答我的问题，谢谢
如果不理解透了我心里不踏实

Answer 1

不妨首先考虑这样几个问题：
1、什么是一个向量的方向？如何判断两个向量方向是否相同？
2、为什么零向量会例外？为什么要特殊规定？

下面进行解释：
一般地，向量空间中不会自动含有长度和夹角的规定，而不同的规定会造成不同的结果，这就意味着，我们的讨论中不能涉及使用角度和长度的方式来规定方向，甚至不能有垂直的概念，考虑它们只会减弱我们讨论的一般性。
两个向量平行的最一般的表示是其中一个可以表示为另一个的倍数，a=l·b（a，b向量，l是标量）的形式，l>=0时二者同向，l<0则二者反向。一定注意的是向量空间中规定的与数量乘积是向量空间定义中线性性质所确定的，它与两个向量乘出标量的内积不同，而正是后者规定了向量的长度和两个向量的夹角。
我们期待平行的概念成为一个等价关系，即具有自反性（a与本身有关）、对称性（a//b => b//a)、传递性（a//b & b//c => a//c），等价关系的出现可以引出空间的良好分类，即等价类。这是一类非常好而且常见的结构，有了它就可以直接得出一系列结论。
可惜的是这里遇到了零向量的概念，由于开始那个式子里面l可以为0，那么0向量就可以和任何一个向量满足那个式子。“按照之前的定义”，零向量确实和任意向量平行。那么这平行的概念就不是一个等价关系。
补救的方法是，在空间中把零向量去掉。这样剩下的空间中平行是一个等价关系，结构就在这里面规定。（就是相互平行的所有向量可以构成等价类）

然后我们看一下LZ的几个问题：
1、由于平行在向量空间中不是等价关系（因为零向量的存在），这里的矛盾是不成立的。
2、只是记号的问题，如果一定要说明可以用，也可以尝试使用0=（0）·b的方式（这里（0）代表标量，外面的0是零向量）。至于名称，我个人不认为它很重要。
3、我要说明一下，在前面给平行定义的时候我把l=0这种情况划归同方向，也是一种为了讨论完全的说法，当然，反着定义也行，总之它们也不满足传递性。
4、这个问题似乎没什么意义，可以硬套定义。

Answer 2

在做题时不会出现用0向量做中介来联系其他两个向量的问题 定义中只是为了给0向量特殊定义一个方向罢了

学习不要在没有意义的地方钻牛角尖

Answer 3

线性空间定义中都是包含零向量

Answer 4

你问的这些问题其实意义不大。。。你只要知道为什么要“规定零向量和任何向量平行”

因为在线性空间定义中都是包含零向量的，所以为了定理叙述和证明的方便，特意“规定零向量和任何向量平行”。。。
举个例子，和a向量平行的所有向量组成一个线性空间（因为同时包含零向量）

如果不这么规定的话其实没有本质区别，只不过以后都要加上一句同时包括零向量罢了

Answer 5