Question

如图三角形ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边上BC的中点,E.F分别是AB.AC边上的点,且DE垂直于DF,若BE=12,

CF=5,求EF的长.

Answer 1

将△CDF以D为旋转中心旋转180度,这样CD与BD重合,F落在F‘

因为∠EDF=∠EDF‘=90度
ED=ED
DF=DF‘
所以△DEF≌△DEF‘

因为∠B=∠C=45度
所以∠ABF‘=90度
在Rt△EBF‘中
BE=12
BF‘=CF=5
所以EF‘=13

又因为△DEF≌△DEF‘
所以EF=EF‘=13

设AB=AC=x
由AE^2+AF^2=EF^2可列方程
(x-12)^2+(a-5)^2=13^2
解得x=17
所以AE=5,AF=12

S△DEF=(S△ABC-S△AEF-S△BEF)÷2
=42.25

Answer 2

先证明三角形AED≌三角形CFD（CD=AD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∠ADE=∠CDF利用等腰三角形三线合一及同角的余角相等，∠EAD=∠FCD=45°），则AE=CF=5
所以AF=BE=12
利用勾股定理可求出EF=13

Answer 3

设AB=AC=x，则BC=√2x
BD=DC=√2x/2
AE=x-12，AF=x-5
在△BDE、△CDF中分别运用余弦定理得
DE²=BD²+BE²-2BD*BEcos45°
=(√2x/2)²+12²-2*(√2x/2)*12 cos45°
=0.5x²-12x+144 …………①
DF²=CD²+CF²-2CD*CFcos45°
=(√2x/2)²+5²-2*(√2x/2)*5 cos45°
=0.5x²-5x+25 …………②
在△AEF中运用勾股定理得
EF²=AE² +AF² =(x-12)²+(x-5)²=2x²-34x+169 …………③

因为△DEF是Rt△，又有EF²=DE² +DF²，将①②③代入得
（0.5x²-12x+144）+（0.5x²-5x+25）=2x²-34x+169
解出x=17

代入③式求得EF=13

Answer 4

13
他们都对