Question

利用定义判断f(x)=x+根号下（x的平方+1）在区间（-无穷大，+无穷的）上的单调性

利用定义判断f(x)=x+根号下（x的平方+1）在区间（-无穷大，+无穷的）上的单调性

Answer 1

设x1,x2属于（-∞，+∞），且x1〈x2,则f(x2)-f(x1)=x2-x1+[根号（x2^2+1)-根号（x1^2+1）]；因x2-x1>0,所以只要确定[根号（x2^2+1)-根号（x1^2+1）]的正负就行了
①若x1，x2属于[0，+∞），又x1<x2,所以，x1^2+1<x2^2+1，所以根号（x2^2+1)-根号（x1^2+1）<0,所以在该区间单调递增。
②若x1,x2属于（-∞，0），因此时[根号（x2^2+1)-根号（x1^2+1）]为负，所以将（x2-x1）与根号（x2^2+1)-根号（x1^2+1）]进行大小比较。可两边平方，移项，再平方，再移项，就可知此时f(x2)-f(x1)<0。所以在此区间单调递减

Answer 2

你先假设 x1 ，x2 ，为区间上的任意两个数，x1小于x2 然后，分别把 x1 ，x2 带入，f（x）
用 f（x2）-f（x1）=x2-x1+根号下（x2的平方+1）-根号下（x1的平方+1）
这步 明白吧
下面 把 上面的 等式 左右两边同时 乘以 {根号下（x2的平方+1）+根号下（x1的平方+1） } 从而得到
{（f（x2）-f（x1））*（根号下（x2的平方+1）+根号下（x1的平方+1）}=（x2-x1）*（根号下（x2的平方+1）+根号下（x1的平方+1））+ x2的平方-x1的平方
然后 方程 左右两边 在 除以 （根号下（x2的平方+1）+根号下（x1的平方+1）
方程 就 变成
f（x2）-f（x1）={（x2-x1）*（根号下（x2的平方+1）+根号下（x1的平方+1））+ x2的平方-x1的平方} 除以 （根号下（x2的平方+1）+根号下（x1的平方+1）
方程 ，右边 的 分子 是 显然 大于 0的
分母 你可以 发现 也是 大于 0的
所以 f（x2）-f（x1）大于 0
基本就是 这样 做的 吧，
我 想 思路就是这样 ，具体的 你 在看看 ，