Question

如图在梯形ABCD中AD//BC,AD=3，DC=5，AB=4√2,∠B=45°动点M从B点出发沿

如图在梯形ABCD中AD//BC,AD=3，DC=5，AB=4√2,∠B=45°动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒
1、求BC的长
2、当MN//AB时，求t的值
3、试探究t为何值时，△MNC为等腰三角形

Answer 1

（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解；

（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；

（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．解答：

解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．

∴KH=AD=3．

在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4 √2• 22=4BK=AB•cos45°=4 √2•√2/2=4．

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC= 52-42=3．

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．

∵MN∥AB，

∴MN∥DG．

∴BG=AD=3．

∴GC=10-3=7．

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2t．

∵DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC．

又∠C=∠C，

∴△MNC∽△GDC．

∴ CN:CD=CM:CG，

即 t/5=10-2t/7．

解得， t=50/17．

（3）分三种情况讨论：

①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t，

∴ t=10/3．

②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．

∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，

∴△NEC∽△DHC．

∴ NC:DC=EC:HC，

即 t/5=5-t/3．

∴t= 25/8．

③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC= 12NC= 12t．

∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，

∴△MFC∽△DHC．

∴ FC:HC=MC:DC，

即 12t/3=10-2t/5，

∴ t=60/17．

综上所述，当t= 10/3、t= 25/8或t= 60/17时，△MNC为等腰三角形．