Question

已知两正数x，y满足x+y=1，求z=（x+1x）（y+1y）的最小值

已知两正数x，y满足x+y=1，求z=（x+1x）（y+1y）的最小值．

Answer 1

z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）=xy+

1

xy

+

y

x

+

x

y

=xy+

1

xy

+

(x+y)2?2xy

xy

=xy+

2

xy

-2，
令t=xy，则0＜t=xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，（当且仅当x=y时取等号）．
由f（t）=t+

2

t

在（0，

1

4

]上单调递减，故当t=

1

4

时，f（t）=t+

2

t

有最小值

33

4

，
从而当且仅当x=y=

1

2

时，z有最小值为

25

4

．

Answer 2

(x
+
1/x)
*
(y
+
1/y)
=
[(x^2
+
1)/x]
*
[(y^2
+
1)/y]
=
[x^2
+
y^2
+
(xy)^2
+
1]/xy
=
[(x+y)^2
-
2xy
+
(xy)^2
+
1]/xy
将x+y=1代入:
=
[(1
-
2xy
+
(xy)^2
+
1]/xy
=
xy
+
2/(xy)
-
2
由于x+y
≥
2√xy，则
0
＜
xy
≤1/4
对于对钩函数xy
+
2/(xy)，拐点是√2
>1/4
所以xy
=
1/4时取最小值
即原式
=
1/4
+
8
-2
=
25/4
希望我的回答对你有所帮助~