Question

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，过点C作CD⊥AB，垂足为E，并交⊙O于D．（1）求

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，过点C作CD⊥AB，垂足为E，并交⊙O于D．（1）求证：PCCE=PBBE；（2）若点E是线段PA的中点，求∠P的度数．

Answer 1

（1）证明：连接AC、BC，则∠ACB=90°
∵∠EAC=∠BCE=90°-∠ACE，
∴Rt△AEC∽Rt△CEB，
∴

AC

BC

＝

CE

BE

∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCB=∠A，又∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴

AC

BC

＝

PC

PB

，即

CE

BE

＝

PC

PB

，
∴

PC

CE

＝

PB

BE

；

（2）解：∵E是AP的中点，且CE⊥AP，
∴AC=PC，∠A=∠P；
∵∠PCB=∠A=∠P，
∴∠ABC=2∠P=2∠A；
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，即3∠A=90°，
∴∠P=∠A=30°．