Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为x

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为x＝1+tcosαy＝tsinα （t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

（I）由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x． 
（II）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t²sin²α-4tcosα-4=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
则t₁+t₂=

4cosα

sin2α

，t₁t₂=-

4

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2?4t1t2

=

( 4cosα sin2α )2+ 16 sin2α

=

4

sin2α

，
当α=

π

2

时，|AB|的最小值为4．