Question

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=2 5 ，曲线C的参数方程为 x=2cosφ y=sinφ （φ为参数），则曲线C上的点到直线l的最短距离为______．

Answer 1

∵直线l的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=2 5 ， ∵x=pcosθ，y=psinθ， ∴x+y=2 5 ， ∵曲线C的参数方程为 x=2cosφ y=sinφ （φ为参数）， ∴ x 2 4 +y 2 =1， 可以设直线y=-x+k与椭圆 x 2 4 +y 2 =1相切， ∴5x 2 -8kx+4k 2 -4=0， △=0，∴64k 2 -20（4k 2 -4）=0， ∴k=± 5 ∴直线y=-x± 5 与直线x+y=2 5 ，的距离即是最短距离， ∴d= |2 5 | 2 ± 5 2 ， ∴曲线C上的点到直线l的最短距离为 10 2 ． 故答案为 10 2 ．