Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线。 （1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证

如图，△ABC中，AB=AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线。 （1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

（1）根据三角形外角的性质得到∠CAF=∠B+∠ACB，由AB=AC可得∠B=∠ACB，即可得到∠CAF=2∠B，根据角平分线的性质可得∠CAF=2∠FAD，即可得到∠B=∠FAD，则可得AD//BC，根据平行线的性质可得∠D=∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠DCE=∠ACD，即可证得结论； （2）由△ABC中，AB=AC，∠B=60°可证得△ABC是等边三角形，即得AB=BC=AC，由AD=AC可得AD=BC，再结合AD//BC可证得四边形ABCD是平行四边形，再有AB=BC即可证得结论.

试题分析：（1）∵∠CAF是△ABC的外角 ∴∠CAF=∠B+∠ACB ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠CAF=2∠B  ∵AD是△ABC两个外角的平分线 ∴∠CAF=2∠FAD  ∴∠B=∠FAD   ∴AD//BC   ∴∠D=∠DCE ∵CD是△ABC外角的平分线 ∴∠DCE=∠ACD  ∴AC=AD； （2）∵△ABC中，AB=AC，∠B=60°  ∴△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC   ∵AD=AC    ∴AD=BC  又∵AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=BC  ∴四边形ABCD是菱形. 点评：此类问题是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.