Question

如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于

如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM= ，则MN的长为

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Answer 1

连接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”证明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，从而有BE=EG=4，DF=FG=6，设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形对角线BD的长，再证明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值． 解：如图，连接GM，GN， ∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE， 同理可证△AGF≌△ADF， ∴BE=EG=4，DF=FG=6， 设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6， 由勾股定理，得CE 2 +CF 2 =EF 2 ，即（a-4） 2 +（a-6） 2 =10 2 ， 解得a=12或-2（舍去负值）， ∴BD=12 ， 易证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN， ∴MG=BM=3 ，NG=ND=1 -3 -MN=9 -MN， ∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°， 在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG 2 +NG 2 =MN 2 ， 即（3 ） 2 +（9 -MN） 2 =MN 2 ， 解得MN=5 故答案为：5 ．