Question

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若?x∈[0，π2]，都有

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若?x∈[0，π2]，都有f（x）-c≤0，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
所以函数f（x）的最小正周期为π．
（2）因为f（x）=2sin（2x+

π

6

）在区间[0，

π

6

]上为增函数，在区间[

π

6

，

π

2

]上为减函数，
又f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，
所以函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，最小值为-1，
故c≥f（x）_max=2．