Question

椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方

椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）∵左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为

10

，∴

(2+c)2+1

＝

10

，解得c=1．
又e＝

c

a

＝

1

2

，解得a=2，∴b²=a²-c²=3．
∴所求椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²＞m²．
∴x1+x2＝

?8mk

3+4k2

，x1x2＝

4(m2?3)

3+4k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=