Question

已知函数f（x）=-12x2+x的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，则m+n=______

已知函数f（x）=-12x2+x的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，则m+n=______．

Answer 1

函数f（x）=-

1

2

x²+x的对称轴方程式x=1，
当m＜n≤1时，函数在区间[m，n]上为增函数，由题意有

f(m)＝? 1 2 m2+m＝2m f(n)＝? 1 2 n2+n＝2n

解得：m=-2，n=0．
当1≤m＜n时，函数在区间[m，n]上为减函数，由题意有

f(m)＝? 1 2 m2+m＝2n f(n)＝? 1 2 n2+n＝2m

此方程组无解．
当m＜1，n＞1时，由题意得：f（1）=?

1

2

×12+1=2n，解得：n=

1

4

，与n＞1矛盾，
所以使函数f（x）=-

1

2

x²+x的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]的m、n的值分别为-2、0，
所以m+n=-2．
故答案为-2．