Question

如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象

如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点；若BC∥x轴，则点A的坐标为（3，16log23）（3，16log23）．

Answer 1

设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，
由题设知，x₁＞1，x₂＞1．则点A、B纵坐标分别为log₈x₁，log₈x₂，
因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1

x1

＝

log8x2

x2

，
点C、D坐标分别为（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BC平行于x轴，可知，
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=

x

3 1

．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得x₁²log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁²=3x₁．
考虑x₁＞1，解得x₁=

3

．
于是点A的坐标为（

3

，log8

3

），即A（

3

，

1

6

log23），
故答案为：（

3

，

1

6

log23）．