Question

已知函数f（x）= lnx+k e x （k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在

已知函数f（x）= lnx+k e x （k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x 2 +x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e -2 ．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)= 1 x -lnx-k e x ， 依题意，∵曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行， ∴ f′(1)= 1-k e =0， ∴k=1为所求． （Ⅱ）k=1时， f′(x)= 1 x -lnx-1 e x （x＞0） 记h（x）= 1 x -lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h（x）＜0，当0＜x＜1时，h（x）＞0， ∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0， ∴原函数在（0，1）上为增函数． ∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）． （Ⅲ）证明：g（x）=（x 2 +x）f′（x）= 1+x e x （1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究 1+x e x ． ①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e -2 ， 当x∈（0，e -2 ）时，r′（x）＞0，r（x）单增； 当x∈（e -2 ，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减． ∴r（x） max =r（e -2 ）=1+e -2 ，即1-xlnx-x≤1+e -2 ． ②记s（x）= 1+x e x ，x＞0， ∴ s′(x)=- x e x ＜0，∴s（x）在（0，+∞）单减， ∴s（x）＜s（0）=1，即 1+x e x ＜1． 综①、②知，g（x））= 1+x e x （1-xlnx-x）≤（ 1+x e x ）（1+e -2 ）＜1+e -2 ．