Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE、BF，切⊙O于点F．（1）求证：BE=BF；（2）若AC+GC=10，求⊙O的半径．

Answer 1

解答：（1）证明：连接DG、OE，交于点H．
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠CAE=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠CAE=∠OEA，
∴AC∥OE，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是圆的切线，
∴BE=BF；

（2）解：设⊙O的半径为r．
∵OE∥AC，OD=OA，
∴OH是三角形AGD的中位线，
∴OH=r-HE=

1

2

（AC-CG）=

1

2

（AC+GC-2GC）=

1

2

×10-GC=5-CG，
即r-HE=5-GC，
∵GC=HE，
∴r=5．