Question

如图在三角形ABC中，AD平分角BAC，DE平行AC，EF垂直AD交BC延长线于点F。求证：角FAC=角B

Answer 1

证明：因为角EAD=角CAD，（AD平分角BAC）
又：角EDA=角DAC，（DE//AC）

所以，角EDA=角DAE
又：EF垂直于AD
所以，EF是AD的垂直平分线,
∴FD=FA,(垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴∠ADF=∠DAF,(在一个三角形中,等边对等角)
又∵∠ADF=∠BAD+∠B,(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠DAF=∠BAD+∠B,
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC,
∴∠DAC+∠FAC=∠BAD+∠B,
∵AD是角平分线,
∴∠DAC=∠BAD,
∴∠B=∠FAC

Answer 2

∵∠EAD=∠CAD
又：∠EDA=∠DAC（DE//AC）
∴∠EDA=∠DAE
又EF⊥AD
∴EF是AD的垂直平分线,
∴FD=FA(垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴∠ADF=∠DAF
又∵∠ADF=∠BAD+∠B
∴∠DAF=∠BAD+∠B
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC
∴∠DAC+∠FAC=∠BAD+∠B
∵AD是角平分线
∴∠DAC=∠BAD
∴∠B=∠FAC