Question

换元法求值域的原理

参考书上有这种方法，但不知道是什么原理，为什么能用这种方法。在用的时候，会不会使值域范围增大或减小。换元前的式子与换元后的式子为什么是等价的？ 望高手答疑解惑

Answer 1

哎，我把你认为是另一个提很多问题的人了！现在让我给你参考参考：
首先，为什么我们要换元：是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决。
举个例子：求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手，有一定难度，但我们可以假设：
t=√(1-x),反解出：x=1-t^2,(注意：t≥0，"√"代表根号）
所以原式等价于：y=1-t^2+t=-t^2+t+1（二次函数是我们所熟悉的）,其值域为：
（-∞，5/4]。
任何数学变换都要遵循一个原则（理）：等价变换。
为什么等价：以y=x+√(1-x)为例，原式x的取值范围为：x≤1;
它是受√(1-x）所约束的，说简单点，x 的值是由√(1-x）≥0解得的，但是我们没有必要求出x的值，因为我们的目的是要求值域，而不是定义域。这样t=√(1-x)
t≥0与解得的x≤1是一个意思（t≥0等价于x≤1），接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子，原来的根号就消失了，式子变得简单了。
那为什么值又没有扩大或是缩小呢：
既然定义域都没有变，那值域怎么会变呢，我们只是用t去等量代替√(1-x），从而避免根号这个“障眼法”，而使问题变得简洁。（换元法的最终目的是使复杂式子简单化，也就是更容易看懂）

（重点参考：等价变换实际上是定义域不变的代换，定义不变，值也就不变。换元法求值域就好比你要从A地到B地，但是路有很多条，但是只有一条比较好走，而你选择的就是那一条好走的路，殊途同归，实际都能到达）

（教师，是一个多么令人崇敬的职业！“授人以鱼，不如授以渔”，是教育工作者的宗旨！可是许多时候，他们知道自己讲什么，但却不知道学生想要什么）

（多问问老师或是懂得同学才是最好的方法，写了那么多，希望你能明白）

Answer 2

　　换元法求值域的原理:通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
　　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

　　解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。