Question

求数学大佬解答

已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线:x+2y+7=0相切，过点B(0，5)的动直线l与圆A相交于M,N两点
若以弦MN为直径的圆经过原点时,求直线的斜率

Answer 1

已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线:x+2y+7=0相切，过点B(0，5)的动直线l与圆A相交于M,N两点 .若以弦MN为直径的圆经过原点时,求直线l的斜率.
解：点尺睁A到直线:x+2y+7=0的距离r=|-1+4+7|/√5=2√5，
所以圆A的方程是(x+1)^2+(y-2)^2=20,①
设直线l的方程为y=kx+5,②贺正
代入①，整理得(1+k^2)x^2+(2+6k)x-10=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-(2+6k)/(1+k^2),x1x2=-10/(1+k^2),
由陵拍岁②，y1y2=(kx1+5)(kx2+5)=k^2x1x2+5k(x1+x2)+25,
以弦MN为直径的圆经过原点O,
等价于OM⊥ON,
等价于向量OM*ON=0,
等价于0=x1x2+y1y2=(1+k^2)x1x2+5k(x1+x2)+25
=-10-5k(2+6k)/(1+k^2)+25,
所以k(2+6k)=3(1+k^2),
整理得3k^2+2k-3=0,
解得k=(-1土√10)/3,为所求。