Question

f(x),g(x)是R上的奇，偶函数，已知f(x)-g(x)=e^x，试比较f(2),f(3),g(0)的大小关系

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

题中告诉了f(x)-g(x)
又有f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数。
f、g有不同的奇偶性，所以就会出现f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]
也就是说很容易构造出f(x)+g(x)
那么有了f(x)-g(x)，f(x)+g(x)，
就可以求出f(x)、g(x)了
完整解答如下：
因为
f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数
所以，任取x属于R，
都有：
f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x)
（1）
而
f(x)-g(x)=e^x
(2)
用-x代替其中的x也是成立的，即：f(-x)-g(-x)=e^(-x)
用（1）式代入有
：
f(x)+g(x)=-e^(-x)
(3)
(1)+(3)有：
2f(x)=e^x-e^(-x)
即：
f(x)=1/2[e^x-1/(e^x)]
(
注意：e^(-x)=1/e^x)
(3)-(1)有：
2g(x)=-1/(e^x)-e^x
即：g(x)=-1/2[1/(e^x)+e^x]
因而:x>0时，e^x>1>1/(e^x)
f(x)>0
故f(3)>0
f(2)>0
而显然g(0)<0
下面只需要比较f(3)和f(2)的大小关系即可。这就是f(x)的单调性了
当x>0时，u=e^x是增函数，
1/(e^x)是减函数
故：-1/(e^x)是增函数
因而
f(x)=1/2[e^x-1/(e^x)]
是增函数。
有f(3)>f(2)
综上：
g(0)<f(2)<f(3)