乘法口诀的意义是表示几个数相加还是几个几
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上个世纪八十年代中期《小学数学教师》就曾展开了一轮关于“乘法意义”的讨论，当时的结论基本上是赞同不必区分被乘数和乘数，后来的课程改革也是朝这个方向走的。现在，我们再回过头去用新的思想去审视新教材中的“乘法意义”，我们会有不少新的发现。
一、 新教材“乘法意义”更接近乘法的本质。
数乘法意义是“求几个相同加数的和的简便运算”这一本质在过去和今天的教材都是一样的。只是在形式上，新教材允许把“4+4+4+4+4”改写成“4×5”也可以写成“5×4”。反过来，也就是说“5×4”可以表示“4个5相加的和”也可以表示“5个4相加的和”。这可以说是 “乘法意义”的一次突破，使我们对“乘法意义”的认识更接近其本质，因为“5×4”可以表示两种意义，以前只有一种意义完全是人为规定 二、 新教材“乘法意义”开拓了人的思维空间。
如上所述，新教材“乘法意义”不再是一个答案了。当我们解放自己的思想之后，回到现实中的数学之后，我们一定会发现我们思维空间突然变得宽阔了！如果让学生算“72×8＋2×72”，这种题型在过去是一个教学的难点。因为要理解它必须用到“交换律”和“分配律”，要不就会“拐不过弯来”。今天的学生却可以十分自然地选择适当的意义而想到：8个72加上2个72不就是10个72啦！而这种如此简单的想法在过去会被认为是不合逻辑的或不严密的。因此，新教材“乘法意义”解放了人的思想，开拓了人的思维空间，为创新思维的提供了更好的平台。
三、 分数乘法同样不必再区分被乘数和乘数。
有人提出“如果专家们真的考虑不区分分数乘法意义，将导致什么后果？想起来还挺可怕的。”这种“可怕”也许就是担心学生会出现一些如上所述的“不符合逻辑的、不严密的”想法，于是“怀念她对数学的严肃、严谨的态度”。数学本身确实以严密的逻辑体系的而成立，这也是使过去中小学数学成为机械、枯燥学科的一个重要原因。但对于这些早已严格论证过的数学知识，在教学中非得像写数学论著一样让学生去接受吗？何况原来的想法不一定符合实际，如“乘法意义”的唯一性就是一例。因此，在分数乘法意义中，同样不必区分4/9×6 和6×4/9以及3/4×4/9和4/9×3/4之类的意义，因为它们本身都有两种意义。如4/9×6可以表示“6的4/9”，也可以表示“4/9的6倍”或“6个4/9”。但是，在一个具体的问题中，它的意义一般可以认为是特定的，如“一根6米长的绳子，用去4/9，用去多少米？”不论你写成6×4/9还是写成4/9×6，都可以理解为“6米的4/9”。不过，有趣的是通过特定的想法还可以给它们都“赋予”另一种它们本来就有的意义：1米的4/9就是4/9米，那么6米的4/9就有6个1米的4/9，也就是6个4/9米。在这里不区分“6个1米”的4/9和6个“1米的4/9”，是因为我们知道，能够从逻辑上证明它们是相同的。同样，对于“某厂原有煤4000吨，炼钢用去了2/5，炼铁用去的是炼钢的1/5，炼铁用去了多少吨？”，如果列式就是写成了“2/5×1/5×4000”也就能理解了。
四、 “乘法意义”具有阶段性与统一性。
“乘法意义”在不同阶段有不同的含义，并且可以用“向下兼容”来形容。首先，“几个”是“几倍”的特例。在整数乘法中，两者是等价的，这种思想可以让学生更容易认识“几倍”；当得不到整数倍时，就出现了小数倍，这时“几个”是“几倍”的一种特例，“乘法意义”也就开始了扩展。其次，“一个数的几分之几”也是“一个数的几倍”的特例。当不到1倍时，我们就习惯于说“几分之几”，而不说“几倍”，可见“几倍”和“几分之几”只是说法上的不同而已，本质上却是一样的。这种思想结合实例与直观能让学生更好地理解“一个数的几分之几”的含义进而对“乘法意义”进行有效扩展。在学习了百分数之后，“几倍”和“几分之几”都可以用百分数来表示，这样，“乘法意义”的不同表述的统一性又一次体现出来了。由此可见，“乘法意义”具有阶段性，同时也具有统一性，这也是必然的，因为都是“乘法”嘛！可是，我们过去的思想却一直停在一种不统一的状态，或人为分裂状态。从“单价×数量=总价”到“1倍数×几倍=几倍数”等各种各样数量关系式及相应各种各样的题型中，常碰到这样的实例。
“乘法意义”可以说是一个十分基本的概念，老教材和新教材在处理上可以说是有很大的区别。从上述分析中，我们不难看到新教材的更加科学的一面和更加有利于培养创新思维的一面。愿各位同行能带着以上思想去审视新教材中的“乘法意义”，以领悟更加完美的“乘法意义”，也让学生用全新的“乘法意义”更好地掌握“乘除法应用题”（这里用“乘除法应用题”是因为本人看来“乘法”和“除法”本身就是相对统一的）。同时，我们也看到现行教材在分数乘法的意义等方面还有所保守，但愿新教材能更加开放些，让“乘法意义”走向“统一”，让我们对“乘法意义” 的认识更加接近它的本质。
一、 新教材“乘法意义”更接近乘法的本质。
数乘法意义是“求几个相同加数的和的简便运算”这一本质在过去和今天的教材都是一样的。只是在形式上，新教材允许把“4+4+4+4+4”改写成“4×5”也可以写成“5×4”。反过来，也就是说“5×4”可以表示“4个5相加的和”也可以表示“5个4相加的和”。这可以说是 “乘法意义”的一次突破，使我们对“乘法意义”的认识更接近其本质，因为“5×4”可以表示两种意义，以前只有一种意义完全是人为规定 二、 新教材“乘法意义”开拓了人的思维空间。
如上所述，新教材“乘法意义”不再是一个答案了。当我们解放自己的思想之后，回到现实中的数学之后，我们一定会发现我们思维空间突然变得宽阔了！如果让学生算“72×8＋2×72”，这种题型在过去是一个教学的难点。因为要理解它必须用到“交换律”和“分配律”，要不就会“拐不过弯来”。今天的学生却可以十分自然地选择适当的意义而想到：8个72加上2个72不就是10个72啦！而这种如此简单的想法在过去会被认为是不合逻辑的或不严密的。因此，新教材“乘法意义”解放了人的思想，开拓了人的思维空间，为创新思维的提供了更好的平台。
三、 分数乘法同样不必再区分被乘数和乘数。
有人提出“如果专家们真的考虑不区分分数乘法意义，将导致什么后果？想起来还挺可怕的。”这种“可怕”也许就是担心学生会出现一些如上所述的“不符合逻辑的、不严密的”想法，于是“怀念她对数学的严肃、严谨的态度”。数学本身确实以严密的逻辑体系的而成立，这也是使过去中小学数学成为机械、枯燥学科的一个重要原因。但对于这些早已严格论证过的数学知识，在教学中非得像写数学论著一样让学生去接受吗？何况原来的想法不一定符合实际，如“乘法意义”的唯一性就是一例。因此，在分数乘法意义中，同样不必区分4/9×6 和6×4/9以及3/4×4/9和4/9×3/4之类的意义，因为它们本身都有两种意义。如4/9×6可以表示“6的4/9”，也可以表示“4/9的6倍”或“6个4/9”。但是，在一个具体的问题中，它的意义一般可以认为是特定的，如“一根6米长的绳子，用去4/9，用去多少米？”不论你写成6×4/9还是写成4/9×6，都可以理解为“6米的4/9”。不过，有趣的是通过特定的想法还可以给它们都“赋予”另一种它们本来就有的意义：1米的4/9就是4/9米，那么6米的4/9就有6个1米的4/9，也就是6个4/9米。在这里不区分“6个1米”的4/9和6个“1米的4/9”，是因为我们知道，能够从逻辑上证明它们是相同的。同样，对于“某厂原有煤4000吨，炼钢用去了2/5，炼铁用去的是炼钢的1/5，炼铁用去了多少吨？”，如果列式就是写成了“2/5×1/5×4000”也就能理解了。
四、 “乘法意义”具有阶段性与统一性。
“乘法意义”在不同阶段有不同的含义，并且可以用“向下兼容”来形容。首先，“几个”是“几倍”的特例。在整数乘法中，两者是等价的，这种思想可以让学生更容易认识“几倍”；当得不到整数倍时，就出现了小数倍，这时“几个”是“几倍”的一种特例，“乘法意义”也就开始了扩展。其次，“一个数的几分之几”也是“一个数的几倍”的特例。当不到1倍时，我们就习惯于说“几分之几”，而不说“几倍”，可见“几倍”和“几分之几”只是说法上的不同而已，本质上却是一样的。这种思想结合实例与直观能让学生更好地理解“一个数的几分之几”的含义进而对“乘法意义”进行有效扩展。在学习了百分数之后，“几倍”和“几分之几”都可以用百分数来表示，这样，“乘法意义”的不同表述的统一性又一次体现出来了。由此可见，“乘法意义”具有阶段性，同时也具有统一性，这也是必然的，因为都是“乘法”嘛！可是，我们过去的思想却一直停在一种不统一的状态，或人为分裂状态。从“单价×数量=总价”到“1倍数×几倍=几倍数”等各种各样数量关系式及相应各种各样的题型中，常碰到这样的实例。
“乘法意义”可以说是一个十分基本的概念，老教材和新教材在处理上可以说是有很大的区别。从上述分析中，我们不难看到新教材的更加科学的一面和更加有利于培养创新思维的一面。愿各位同行能带着以上思想去审视新教材中的“乘法意义”，以领悟更加完美的“乘法意义”，也让学生用全新的“乘法意义”更好地掌握“乘除法应用题”（这里用“乘除法应用题”是因为本人看来“乘法”和“除法”本身就是相对统一的）。同时，我们也看到现行教材在分数乘法的意义等方面还有所保守，但愿新教材能更加开放些，让“乘法意义”走向“统一”，让我们对“乘法意义” 的认识更加接近它的本质。
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