Question

若函数y=sin(1/2x+ψ)是偶函数,则ψ的一个值为

-π -π/2 -π/4 -π/8 一个个带进去太麻烦了..应该怎么想这种题 不是老师说的..是同学说的..考试这样做肯定太慢了..

Answer 1

偶函数
,所以f(x)=f(-x)
即sin(1/2x+ψ)=sin(-1/2x+ψ)
所以1/2x+ψ=-1/2x+ψ+2kπ（k∈Z）
或1/2x+ψ=π-（-1/2x+ψ）+2kπ（k∈Z）
对于任意x方程均成立，所以只有第二个方程符合题意
即1/2x+ψ=π-（-1/2x+ψ）+2kπ（k∈Z）
1/2x+ψ=π+1/2x-ψ+2kπ（k∈Z）
2ψ=π+2kπ（k∈Z）
ψ=π/2+kπ（k∈Z）
所以-π/2符合题意

Answer 2

f(x)=sin(2x＋ψ)（0≦ψ≦π）是r上的偶函数，则f（x）=f(-x)，即sin(2x+ψ)=sin(-2x+ψ)=-sin(2x-ψ)，
所以sin(2x+ψ)+sin(2x-ψ)=0.三角函数展开sin2xcosψ+cos2xsinψ+sin2xcosψ-cos2xsinψ=0.合并同类项得：
2sin2xcosψ=0.因为对于任意x都有sin2xcosψ=0.所以cosψ=0,而0≦ψ≦π，所以ψ=π/2.

Answer 3

y=sin()为偶函数
所以1/2x+ψ=2kπ
∴x+2ψ=4kπ
即代入ψ=-πhou
1/2x+ψ是2π的倍数
所以是偶函数